Sayıların Temelinde Yatan Düşünce

Matematiği anlamak istiyorsak, önce kümeler konusunu iyi kavramamız gerekir. Kümeler anlaşılmadan, matematiği tam olarak öğrenmek neredeyse imkânsızdır. Bu yüzden ünlü Alman matematikçi Gottlob Frege, aritmetiğin temellerini kümeler üzerine kurmaya çalışmıştır. Bugün de sayı kümeleri tam olarak anlaşılmadan matematik problemlerini çözmek pek mümkün değildir.

Sayı kümeleri; doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi, irrasyonel sayılar kümesi, reel (gerçek) sayılar kümesi ve karmaşık sayılar kümesinden oluşur.

Mûsâ el-Hârizmî, Hesab-ül Cebir vel-Mukabele adlı eserinde “Sekizden sekiz çıkarsa hiç kalır. İşlemlerde kargaşaya neden olmasın diye bu hiçi ifade etmek için bir yuvarlak çiz” diyerek, sıfırı günümüzde kullandığımız anlamda matematiğe kazandırmıştır. Bu ifadeyle sıfır, ilk kez dört işlemde kullanılmaya başlanmıştır. Böylece doğal sayılar kümesinin sıfırdan başlayıp sonsuza kadar devam ettiği kabul edilmiştir. Doğal sayılar, genellikle günlük hayatta sayma ve hesaplama işlemlerinde kullanılmıştır.

Tam sayılar kümesi ise, doğal sayılara negatif sayıların da eklenmesiyle oluşur. Tam sayılar; borç, alacak ve yön belirtme gibi durumları ifade etmekte kullanılır. Örneğin cebimde 5 TL olması durumunu +5, arkadaşıma 5 TL borçlu olma durumunu -5 ile gösteririz. Yine deniz seviyesinden 65 metre yukarıda olma durumunu +65, 65 metre aşağıda olma durumunu ise -65 metre olarak ifade ederiz. Sayı doğrusunda sıfırın sağında olan sayılar pozitif, solunda olan sayılar negatif olarak ifade edilir. Bu iki sayı kümesini zihnimizde kolayca canlandırabiliriz.

Akılla Başlayan, Sonsuzlukla Devam Eden Yolculuk

Rasyonel sayılar, paydası sıfır olmayan iki tam sayının birbirine bölünmesiyle elde edilen sayılardır. Tanım gereği rasyonel sayılar kümesinde, kesirli sayılar (1.5, 3.18, 5.716, 0.863 gibi) ile birlikte tam sayılar ve doğal sayılar da yer alır. “Rasyonel” kelimesi, akla dayanan, mantıklı olan anlamına gelir.

M.Ö. 500’lü yıllarda rasyonel sayılar, evreni tanımlamak için kusursuz kabul ediliyordu. Ünlü filozof Pisagor, rasyonel sayıların kusursuzluğuna o kadar inanmıştı ki, bu sayılarla evreni yöneten bir tanrıyı tanımlamaya çalıştı. Pisagorcular, evrendeki tüm büyüklük, uzunluk ve çoklukların rasyonel sayılarla açıklanabileceğini savunuyorlardı. Örneğin bir çeyrek elmayı göstermek için, bir elmayı dört eşit parçaya bölüp bu parçalardan birini göstermek yeterliydi. Burada 1 ve 4 birer tam sayıdır ve bu iki tam sayının oranı, o çokluğu ifade etmekte kullanılmıştır.

Ancak Pisagor’un genç öğrencisi Hippasus farklı düşünüyordu. Ona göre gerçeklik, bazen bizim algı sınırlarımızı aşabilirdi. Hippasus, insanların doğruyu algılama biçiminin yaşadıkları topluma ve döneme bağlı olduğunu fark etmişti. Bu düşünceler, ona pahalıya mal olacak yeni bir yola sürükledi.

Hippasus, dik kenar uzunlukları birer birim olan bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunun, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayacağını ispatladı. Bu ispat, rasyonel sayıların açıklayamadığı yeni bir sayı kümesinin varlığını ortaya koydu: Rasyonel olmayan, yani irrasyonel sayılar kümesi. Pisagor’un yaşadığı döneme göre akla uygun olmayan, ama var olan sonsuz sayıdan oluşan yeni bir küme. Bu buluş nedeniyle Hippasus, Pisagorcular tarafından dinsizlikle suçlandı ve bir gemi yolculuğu sırasında, köpek balıklarının olduğu bir bölgede denize atılarak öldürüldü. Daha sonra arkadaşları, onun keşfettiği bu yeni sayı kümesine “irrasyonel sayılar kümesi” adını verdi.

Her ne kadar bu sayılar o dönem için akıl dışı gibi görünse de, gerçekte vardı ve kabul edilmeleri gerekiyordu. Sonrasında bu irrasyonel ve rasyonel sayıların birleşmesiyle “reel (gerçek) sayılar kümesi” ortaya çıktı.

Hayal Gibi Görünenin Bilime Dönüşmesi

Bir sayının karesinin negatif olabileceği fikri, “karmaşık sayılar kümesi”nin doğmasına neden oldu. Bu sayıların bir gerçek kısmı, bir de sanal kısmı vardır. Karmaşık sayılar, iki boyutludur. Bu sayılar arasında büyüklük veya küçüklük karşılaştırması yapılamaz. Bir dönem bu sayılar, insan aklının sınırlarını zorlayacak kadar garipti. Ancak zamanla, mantığın ötesinde de gerçekler olabileceği anlaşıldı.

1865 yılında, matematikçi Lewis Carroll, bu düşüncelerden ilham alarak Alice Harikalar Diyarında masalını yazdı. Bu masalda, bir zamanlar sadece hayal ürünü gibi görünen şeylerin, aslında ne kadar gerçek olabileceğini anlatmaya çalıştı. O dönem sadece kâğıt üzerinde var olan bu karmaşık sayılar, günümüzde bilgisayar biliminden makine ve havacılık mühendisliğine kadar birçok alanda aktif olarak kullanılmaktadır.

Tarihe baktığımızda, buna benzer yüzlerce örnek görebiliriz. Bir dönem bazı kurallar kesin doğru kabul edilir. Ama biri çıkar, bu kuralları yeniden sorgular. “Herkesin doğru kabul ettiği bir şey, gerçekten doğru mudur?” diye düşünür. İşte bu kişiler, tarihte yeni bir sayfa açarlar. Ya eski bilgileri değiştirirler ya da yepyeni bilgiler ortaya koyarlar.

Bir zamanlar atomun bölünemez olduğu düşünülüyordu. Hatta “atom” kelimesi, Yunanca’da “bölünemez” anlamına gelen “atomos” kelimesinden türetilmiştir. Oysa günümüzde atom parçalanarak nükleer enerji ve nükleer silahlar elde edilebilmektedir. Yine bir zamanlar Öklid geometrisi tek doğru olarak kabul ediliyordu. Ancak zamanla Öklid geometrisi sorgulandı ve Öklid dışı geometriler keşfedildi. Bertrand Russell, “Aritmetiğin Temelleri”ni sorguladığında, matematikteki paradokslara farklı bir bakış açısı getirdi.

Bilimsel çalışmalarla elde edilen hiçbir bilgi, mutlak doğru değildir. Bir konuya şüpheyle yaklaştığımızda, daha doğru sonuçlara ulaşabiliriz. Sorgulama ve derinlemesine düşünme ile bilim ve teknolojide ilerleme sağlanabilir. Çünkü bilimsel çalışmalar, yaşadığımız çevreden, sahip olduğumuz bilgi düzeyinden ve inanç sistemimizden bağımsız değildir. Bu yüzden araştırmalı, sorgulamalı ve var olan bilimsel kurallara yeni bir bakış açısıyla yaklaşmalıyız. Böylece biz de yeni buluşlar yapabilir, yeni formüller geliştirebiliriz.